Familles de dimension 4 dans un espace de dimension 4 au moins
Soit donc à définir les conditions portant sur i0, i1, i2, i3 pour que la famille de symétries définie plus haut soit finie.
On admet qu'en dimension 3 il n'existe que 4 familles : la famille prismatique et les 3 familles qualifiées de platoniciennes.
On étendra la famille prismatique de la façon suivante :
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i1 |
i2 |
i3 |
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i0 |
π/n |
π/2 |
π/2 |
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i1 |
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π/2 |
π/2 |
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i2 |
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π/2 |
Aux n symétries de F0(i0, i1) s'ajoutent les 2 symétries S2 et S3
Pour les familles platoniciennes on retient l'idée observée en dimension 3 que i0 forme un angle de p/n avec chacun des autres vecteurs et que les autres vecteurs forment entre eux des angles de p/3. D'où ici :
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i1 |
i2 |
i3 |
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i0 |
π/n |
π/n |
π/n |
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i1 |
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π/3 |
π/3 |
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i2 |
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π/3 |
L'algorithme cité en dimension 3 conduit à la construction de 3 nouvelles familles dont les effectifs sont, pour n valant 3, 4 ou 5, respectivement : 10, 16 et 60
Voyons maintenant d'autres bases de construction .
En notant c = cos π/n et en posantj0= i0 - 2 c i1,
on peut évaluer l'angle (j0,i2) à l'aide du produit scalaire j0 . i2 =c - c = 0 = cos π/2
idem pour (j0,i3). soit pour j0, i1, i2, i3 :
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i1 |
i2 |
i3 |
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j0 |
π/n |
π/2 |
π/2 |
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i1 |
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π/3 |
π/3 |
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i2 |
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π/3 |
Posons maintenant j3=i3- i2, j0 . j3 = c - c -c + c = 0 0 = cos π/2
i1 . j3 = 0.5 -0.5 = cos π/2
Soit pour j0, i1, i2, j3
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i1 |
i2 |
j3 |
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j0 |
π/n |
π/2 |
π/2 |
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i1 |
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π/3 |
π/2 |
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i2 |
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π/3 |
Pour étendre les résultat en dimension 3 et en renommant les vecteurs on choisira :
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i1 |
i2 |
i3 |
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i0 |
π/2 |
π/n |
π/2 |
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i1 |
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π/3 |
π/3 |
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i2 |
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π/2 |
Cette dernière forme est bien appropriée et permet de dégager la plus grande variété de figures singulières.