Figures en dimension 4

F1( , , ,)

Ces figures se construisent à partir des symétries de base d'une famille de symétries F0(i0, i1,i2,i3)

Les espaces de symétries T0, T1 T2 T3 sont de dimension 3 et l'intersection de 3 d'entre eux est une droite. L'intersection de T1, T2 et T3 coupe la sphère unité en 2 points dont l'un est baptisé A. De même B est un point de la sphère unité commun à T0 ,T2,T3. C est commun à T0 ,T1 et T3 et D commun à T0,T1,T2

Les choix de B C et D sont motivés par le fait que les angles entre [OA] et [OB] etc. sont aigus

Considérons la figure notée F1 (i0,i1,i2,i3). Le point P initial de la figure sera placé en A pour que S0 donne de P une image nouvelle et (i0 est souligné) alors que S1 S2 et S3 laissent P invariant La figure compte maintenant 2 points. On applique de nouveau S0 S1 et S2 à chacun. Les nouveaux points s'ajoutent jusqu'à saturation. L'algorithme utilisé est le même qu'en dimension 3

Remarquons ici que la figure construite est invariante par toutes les symétries de la famille mais que seules les 4 symétries de base ont été utiles à la construction de la figure

. Ses faces ou sous-figures propres contenant A sont F1(i0,i1,i2) F1(i0,i1,i3) et F1(i0,i2,i3). On reconnaît là des solides réguliers (éventuellement dégénérés)

Une figure dont le point initial n'a, pour les symétries de base de la famille qu'une seule image qui lui soit différente sera qualifiée de singulière.(un seul vecteur est souligné)

Considérons maintenant la figure non singulière notée F1 (i0, i1, i2, i3).

Appelons P le point initial de la figure Les images de P par S0 , S1 S2 et S3 sont différentes de P et à des distances de T0, T1 , T2 et T3 en ordre non croissant. La figure obtenue contient des segments de 4 longueurs éventuellement différentes.

Pour placer P on choisira un système de 4 coordonnées barycentriques dans la base {A , B , C , D} et on projettera sur la sphère unité.

Si on choisi 0,1,2,0 par exemple, P se trouve sur l'arc BC, c'est donc un point de T0 et T3 plus près de C que de B

Le choix particulier de la base puis le choix de coordonnées barycentriques positives implique la création de figures convexes

A partir d'une famille de type prismatique :

F1 (i0, i1, i2, i3).et F1 (i1, i0, i2, i3) sont des polygones réguliers à n côtés

Les sous figures nous ramènent à la dimension 3. En particulier : F1 (i0, i1).est le polygone lui-même et F1 (i0, i2) un de ses côtés.

A partir d'une famille "platonicienne" :

On remarque F0(i0, i1, i2) est platonicienne d'ordre n, F0(i0, i1, i3)est prismatique d'ordre 3, F0(i0, i2, i3) est prismatique d'ordre n et F0(i1, i2, i3) est platonicienne d'ordre 3

 A propos du symbole de Schläfli.

Si on reprend F1(i0, i2, i1,i3). avec (i0,i2) = π/n, , (i2,i1) = π/3 ..(voir tableau)

Une face F1(i0, i2,i1) est un solide de symbole de Schläfli {n,3}

Une figure de sommet F1( i2, i1,i3). est un tétraèdre de symbole de Schläfli {3,3}

F1(i0, i2, i1,i3) est une figure de symbole de Schläfli {n,3,3}

F1(i3, i1,i2, i0) est une figure de symbole de Schläfli {3,3,n}

Cette notation convient aux figures régulières.

A propos du nombre de points

Rien dans le déroulement de l'algorithme de construction ne faisant appel aux distances de P avec les Tk, on peut affirmer que F1 (i0, i1, i2, i3)., F1 (i1, i0, i2, i3)....etc. ont le même nombre de points. Si maintenant on compare. F1 (i0, i1, i2, i3). avec F1 (i0, i1, i2, i3), on voit qu'au lancement de l'algorithme la sous famille F0(i1,i2, i3) reste sans effet alors qu'elle conduit à la construction partielle de F1(i1,i2, i3) dans la 2°.

Si on note f(i0, i1, i2, i3) le nombre de point deF1(i0, i1, i2, i3) on a :

f(i0, i1, i2, i3) = f(i0, i1, i2, i3) *f(i1, i2, i3)

on aurait de même : f(i1, i0, i2, i3) = f(i1, i0, i2, i3)* f(i0, i2, i3) etc.

On note pr3(n) le nombre de points d'une figure prismatique de dimension 3 et d'ordre n

Pr3(n) = 4n

On note pl3(n) le nombre de points d'une figure qualifiée de platonicienne

Pour n valant 3,4 ou 5 les valeurs respectives sont 24, 48 et 120

ici on a :

f(i0, i1, i2, i3) = f(i0, i1, i2, i3) f(i1, i2, i3)= f(i0, i1, i2)* pl3(3)=

f(i1, i0, i2, i3) = f(i1, i0, i2, i3) f(i0, i2, i3)= f(i1, i0, i2, i3) *pr3(n)=

f(i2, i0, i1, i3) = f(i2, i0, i1, i3) f(i0, i1, i3) = f(i2, i0, i1, i3) *pr3(3)

f(i3, i0, i1, i2) = f(i3, i0, i1, i2) f(i0, i1, i2) = f(i3, i0, i1, i2) *pl3(n)

ainsi f(i0, i1, i2, i3) est multiple de 24, 4n et pl3(n)

On sait par ailleurs que f(i0, i1, i2, i3)> f(i0, i1, i3) ..car il y a plus de points sur la figure entière que sur une sous figure

On découvrira les figures associées à une famille platonicienne avec

n=3

n=4

n=5

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