Figures en dimension 3

F1( , , )

Ces figures se construisent à partir des symétries de base d'une famille de symétries F0(i0,i1,i2).

Un peu de vocabulaire à l'aide d'un exemple.

Le sommet d'un octaèdre est commun à 4 triangles équilatéraux et à 2 carrés. Ce sont des sous-figures de dimension 2, mais seuls les triangles sont considérés comme des faces. Elles bordent l'enveloppe convexe de la figure. Les 4 arêtes issues d'un sommet ont à leur extrémité les sommets d'un carré. Ce carré constitue une figure de sommet. Lorsqu'on "rogne" l'octaèdre à l'approche d'un sommet, d'une arête ou des 2 on obtient une figure locale. En coupant le sommet la cicatrice est un "petit" carré. Une figure de sommet est de même nature qu'une de ces figures locales (ici un carré).

Une figure sera dite régulière si toutes ses faces d'une part, et toutes ses figures de sommet sont isométriques.

Il s'agit en dimension 3 des solides de Platon. On les trouve parmi les figures singulières.

Les figures singulières

Les plans de symétries T0, T1 T2 sont de dimension 2 et l'intersection de 2 d'entre eux est une droite. L'intersection de T1 avec T2 coupe la sphère unité en 2 points dont l'un est baptisé A. De même B est un point de la sphère unité commun à T0 ,T2. Enfin C est commun à T0 etT1

Les choix de B et C sont motivés par le fait que les angles entre [OA] et [OB] entre [OB] et [OC] entre [OC] et [OA] sont aigus

Considérons la figure notée F1 (i0,i1,i2). Le point P initial de la figure sera placé en A pour que S0 donne de P une image nouvelle et (i0 est souligné) alors que S1 et S2 laissent P invariant La figure compte maintenant 2 points. On applique de nouveau S0 S1 et S2 à chacun. Les nouveaux points s'ajoutent jusqu'à saturation. Voici l'algorithme utilisé pour l'obtention des sommets :

Remarquons ici que la figure construite est invariante par toutes les symétries de la famille mais que seules les 3 symétries de base ont été utiles à la construction de la figure

Cette figure aura tous ses côtés de même longueur. Ses sous-figures contenant A sont F1(i0,i1) et F1(i0,i2). On reconnaît là des polygones réguliers (éventuellement dégénérés)

Une figure dont le point initial n'a, pour les symétries de base de la famille qu'une seule image qui lui soit différente sera qualifiée de singulière.(un seul vecteur est souligné)

Cas général :

Considérons maintenant la figure non singulière notée F1 (i0, i1, i2).

Appelons P le point initial de la figure Les images de P par S0 , S1 et S2 sont différentes de P et à des distances de T0, T1 et T2 en ordre non croissant. La figure obtenue contient des segments de 3 longueurs éventuellement différentes.

Pour placer P on choisira un système de 3 coordonnées barycentriques dans la base {A , B , C} et on projettera sur la sphère unité.

Si on choisi 0,1,2 par exemple, P se trouve sur l'arc BC, c'est donc un point de T0 plus près de C que de B

Le choix particulier de la base puis le choix de coordonnées barycentriques positives implique la création de solides convexes

A partir d'une famille prismatique :

F1 (i0, i1, i2). et F1 (i1, i0, i2) sont des polygones réguliers à n côtés

Les sous-figures de la 1° sont F1 (i0, i1).qui est le polygone lui-même et F1 (i0, i2) qui est un de ses côtés.

F1 (i2, i1, i0). et F1 (i2, i0, i1).sont des prismes dont la base est un des polygones précédents

F1 (i2, i1).est un rectangle.

F1 (i0, i1, i2). et F1 (i1, i0, i2).sont des figures planes ayant n axes de symétrie comme celle qui figure en dimension 2 avec n=12

F1 (i0, i1, i2).est un prisme dont la base est une figure de type précédent. (4n points)

A partir d'une famille "platonicienne" :

 Premiers exemples : F1(i0, i2, i1).et F1 (i1, i2, i0).avec ..

La figure rouge s'obtient en plaçant P en A et la bleu en partant de B

Les symétries sont indiquées par les directions propres (1° figure) et les traces sur la sphère unité des plans de symétries (6 pour la 1° et 9 pour la seconde.)

Pour n =5 on aurait 15 symétries, un dodécaèdre rouge et un icosaèdre bleu !

Considérons les figures particulières de dimension inférieure

Prenons l'exemple de F1 (i0, i1, i2).

Les 2 sous-figures contenant P sont : F1 (i0, i1).et F1 (i0, i2).L'examen des angles permet de dire que la 1° est un segment et la 2° une face carrée. On a conservé i0

Une figure de sommet est formée des points reliés par un segment à ce sommet. Cette figure ne contient pas le sommet initial. Considérons ici l'image de P par S0. Ce point fait partie de la figure de sommet de P. Il convient par ailleurs pour rester sur cette figure de ne plus employer S0 sous peine de revenir à P.Autrement dit la figure de sommet de P est associée à la sous-famille de base {i1,i2}.

Ce sera ici une des 2 figures:

F1 (i1, i2). et F1 (i2, i1). qui représentent chacune un triangle équilatéral.

Lorsque l'on place P proche de A mais différent de A, la nouvelle figure comporte une sous figure locale associée à la sous-famille qui exclut S0. Une de ces figures locale est la figure de sommet de P

L'intérêt de ces figure locale c'est quelle se détache mieux du dessin notamment en dimension 4!

Deux figures régulières sont conjuguées si les faces de l'une sont de même nature que les figures de sommets de l'autre.

 A propos des symboles de Wythoff et de Schläfli.

A est commun à T1 et T2 avec (i1,i2)= π/3 Ce point est commun à 3 des plans de symétries de la famille, c'est un point d'ordre 3. De même B serait d'ordre n et C d'ordre 2. Le symbole de Wythoff de F1(i0,i2,i1) serait : (3|n,2). La barre verticale sépare les symétries soulignées des suivantes.

Si on reprend F1(i0, i2, i1). avec (i0,i2) = π /n, , (i2,i1) = π /3 et (i0,i1) = π/2

Une face F1(i0, i2) est un polygone à n côtés de symbole de Schläfli {n}

Une figure de sommet F1( i2, i1). est un triangle de symbole de Schläfli {3}

F1(i0, i2, i1) est une figure de symbole de Schläfli {n,3}

F1(i1, i2, i0) est une figure de symbole de Schläfli {3,n}

Cette notation convient aux figures régulières.

A propos du nombre de points

Rien dans le déroulement de l'algorithme de construction ne faisant appel aux distances de P avec les Tk, on peut affirmer que F1 (i0, i1, i2)., F1 (i1, i0, i2)....etc. ont le même nombre de points. Si maintenant on compare. F1 (i0, i1, i2). avec F1 (i0, i1, i2), on voit qu'au lancement de l'algorithme la sous famille F0(i1,i2) reste sans effet alors qu'elle conduit à la construction partielle de F1(i1,i2) dans la 2°.

Par exemple la construction d'un cube va être remplacée par celle d'une figure où chaque sommet du cube sera remplacée par une figure plane d'ordre 3 comportant 6 points. Au final la nouvelle figure comporte 6 fois plus de points.

Si on note f(i0, i1, i2) le nombre de point deF1(i0, i1, i2) on a :

f(i0, i1, i2) = f(i0, i1, i2) f(i1, i2)

on aurait de même : f(i1, i0, i2) = f(i1, i0, i2) f(i0, i2) et f(i2, i0, i1) = f(i2, i0, i1) f(i0, i1) etc.

et f(i0, i1)= f(i0, i1) f(i1)...etc. avec f(ik)=2...d'ou ici :

f(i0, i1, i2) = f(i0, i1, i2) f(i1, i2)= f(i0, i1, i2)* 6=

f(i1, i0, i2) = f(i1, i0, i2) f(i0, i2)= f(i1, i0, i2) *2n=

f(i2, i0, i1) = f(i2, i0, i1) f(i0, i1) = f(i2, i0, i1) *4

ainsi f(i0, i1, i2) est multiple de 6 de 2n et de 4 ou encore de 12 et 2n

On sait par ailleurs que f(i0, i1, i2)> f(i0, i1) et f(i0, i1, i2)> f(i0, i2) car il y a plus de points sur la figure entière que sur une sous figure

On découvrira des figures engendrées par 1 ou 2 points, associées à une famille platonicienne avec

n=3

n=4

n=5

Exemple de F2(i0,i1)_(i1,i0) avec (i0,i1)= π/5

La figure est engendrée à partir de 2 points A0 dans T1 et B0 dans T0

Les vecteurs A0B0 i0 et i1 sont non coplanaires

Les segments rouges sont révélateurs des 5 symétries de la famille de base {i0,i1} et les segments bleus sont les homologues de A0B0

Exemple de F3(i0,i1)_(i1,i2)_( i2,i0) avec {0,i1,i2}orthonormée

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